Question

【题目】已知函数f（x）=ln（1+x）﹣x，g（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）设0＜a＜b，证明0＜g（a）+g（b）﹣2g（ ）＜（b﹣a）ln2．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．

．令f′（x）=0，解得x=0．

当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．又f（0）=0，

故当且仅当x=0时，f（x）取得最大值，最大值为0．

（2）证明：

= ．

由（Ⅰ）结论知ln（1+x）﹣x＜0（x＞﹣1，且x≠0），

由题设 ，

因此ln =﹣ln（1+ ）＞﹣ ，

，

所以 ．

又 ，

＜ ．=（b﹣a）ln ＜（b﹣a）ln2

综上

【解析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数进行求导运算，令导函数等于0求出x的值，再判断函数的单调性，进而可求出最大值．（2）先将a，b代入函数g（x）得到g（a）+g（b）﹣2g（ ）的表达式后进行整理，根据（1）可得到lnx＜x，将 、 放缩变形为 、 代入即可得到左边不等式成立，再用 根据y=lnx的单调性进行放缩 ＜ ．然后整理即可证明不等式右边成立．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．