Question

12．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x+$\frac{a}{x}$，a∈R．
（1）设F（x）=f（x）+g（x）-x，若F（x）在[1，e]上的最小值是$\frac{3}{2}$，求实数a的值；
（2）若x≥1时，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导函数F'（x），根据题意对参数a分类讨论，分别求函数的最小值判断得出a的取值；
（2）把恒成立问题转化为最值问题，通过构造函数，利用导函数求出函数的最值即可．

解答 解：（1）$F（x）=f（x）+g（x）-x=lnx+\frac{a}{x}$，其定义域为{x|x＞0}，
则$F'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}=\frac{x-a}{x^2}，x＞0$
①若a≤1，则对x∈[1，e]，F'（x）≥0恒成立，
故F（x）在[1，e]上单调递增F（x）_min=F（1）=a≤1，与题意矛盾，舍去
②若1＜a＜e，则F（x）在[1，a]上单调递减，在[a，e]上单调递增，$F{（x）_{min}}=F（a）=1+lna=\frac{3}{2}⇒a=\sqrt{e}$，符合题意
③若a≥e，则则F（x）在[1，e]上单调递减，$F{（x）_{min}}=F（e）=1+\frac{a}{e}≥2$，矛盾，舍去
综上：$a=\sqrt{e}$
（2）由题设可得：x≥1时，$lnx≤x+\frac{a}{x}$恒成立，等价于a≥（xlnx-x²）_max
令h（x）=xlnx-x²，x≥1，
则$h'（x）=1+lnx-2x，h''（x）=\frac{1}{x}-2＜0$，
故h'（x）在[1，+∞）上单调递减，
∴h'（x）≤h'（1）=-1＜0，
∴h（x）在[1，+∞）上单调递减，
∴h（x）_max=h（1）=-1
∴a≥-1

点评 考查了函数的构造，导函数的应用，参数的讨论和恒成立问题的转化思想．