Question

已知函数在与时，都取得极值．
（1）求的值；
（2）若，求的单调区间和极值；
（3）若对都有恒成立，求的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）f (x)的递增区间为（－∞，－），及（1，＋∞），递减区间为（－，1），当x＝－时，f (x)有极大值，f (－)＝；当x＝1时，f (x)有极小值，f (1)＝－；（3）或．

解析试题分析：（1）函数的极值点是使导数等于0的的值，因此本题中一定有和，由此可解出的值；（2）再由可求出，而求单调区间，很显然是解不等式（得增区间）或（得减区间），然后可得相应的极大值和极小值；（3）不等式恒成立，实际上就是当时的最大值小于，因此问题转化为先求在上的最大值，然后再解不等式即可．
试题解析：（1）f ′(x)＝3x²＋2a x＋b＝0．
由题设，x＝1，x＝－为f ′(x)＝0的解．
－a＝1－，＝1×(－)．∴a＝－，b＝－2       3分
经检验得：这时与都是极值点．      …4分
（2）f (x)＝x³－x²－2 x＋c，由f (－1)＝－1－＋2＋c＝，c＝1．
∴f (x)＝x³－x²－2 x＋1．

∴f(x)的递增区间为（－∞，－），及（1，＋∞），递减区间为（－，1）．
当x＝－时，f (x)有极大值，f (－)＝；
当x＝1时，f (x)有极小值，f (1)＝－        …8分
（3）由（1）得，f′(x)＝(x－1)(3x＋2)，f (x)＝x³－x²－2 x＋c，
f (x)在[－1，－及（1，2]上递增，在（－，1）递减．
而f (－)＝－－＋＋c＝c＋．f (2)＝8－2－4＋c＝c＋2．
∴  f (x)在[－1，2]上的最大值为c＋2．∴ ，∴ 
∴ 或∴ 或   12分
考点：（1）导数与极值；（2）导数与单调区间；（3）不等式恒成立问题．