Question

某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业地规划建成一个矩形高科技工业园，已知AB⊥BC，OA∥BC，且|AB|=|BC|=4km．|AO|=2km，曲线段OC 是以点O为顶点且开口向上的一段抛物线，如果要使矩形的两边分别落在AB，BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1 km²）。

Answer 1

解：以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，如图所示， 依题意可设抛物线的方程为x2=2py（p ＞0），且过点C（2，4）， 所以22=2p× 故曲线段OC的方程为y =x2（0≤x≤2）， 设P（x，x2）（0≤x≤2）是曲线段OC上的任意一点， 则|PM|=2+x，|PN|=4-x2， 所以， 工业园的用地面积S=|PM|·|PN|=（2+x）（4- x2）=-x3-2x2+4x+8， 所以， S′=-3x2-4x+4， 令S′=0，得，x2=-2， 又因为0≤x≤2， 所以， 当时，S′＞0，S是x的增函数； 当时，S′＜0，S是x的减函数， 所以，当时，S取得最大值， 此时·|PN|= 故把工业园规划成长为，宽为时，工业园的用地面积最大，约为9.5km2。