Question

已知函数f（x）=2x+sinx，对任意的m∈[-2，2]，f（mx-3）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：先利用定义、导数分别判断出函数的奇偶性、单调性，然后利用函数的性质可去掉不等式中的符号“f”，转化具体不等式，借助一次函数的性质可得x的不等式组，解出可得答案．

解答： 解：∵f（-x）=2（-x）+sin（-x）=-（2x+sinx）=-f（x），
∴f（x）是奇函数，
又f'（x）=2+cosx＞0，∴f（x）单调递增，
f（mx-3）+f（x）＜0可化为f（mx-3）＜-f（x）=f（-x），
由f（x）递增知mx-3＜-x，即mx+x-3＜0，
∴对任意的m∈[-2，2]，f（mx-3）+f（x）＜0恒成立，
等价于对任意的m∈[-2，2]，mx+x-3＜0恒成立，
则

-2x+x-3＜0 2x+x-3＜0

，解得-3＜x＜1，
故答案为：（-3，1）．

点评：本题考查恒成立问题，考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．