Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以BC为直径的圆O交AC于点D，设E为AB的中点．
（1）求证：直线DE为圆O的切线；
（2）设CE交圆O于点F，求证：CD•CA=CF•CE．

Answer 1

分析：（1）连接BD，OD，OE，利用BC是⊙O的直径，可得∠BDC=∠BDA=90°，利用直径三角形的斜边中线的性质可得DE=

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AB=BE，于是得到OD²+DE²=OB²+BE²=OE²，利用勾股定理的逆定理可得∠ODE=90°．再利用切线的判定定理即可证明直线DE为圆O的切线；
（2）连接BF，利用BC为⊙O的直径，可得BF⊥CE；在RT△BCE中，利用射影定理可得CF•CE=BC²；同理在RT△ABC中，CD•CA=BC²，即可证明．

解答：证明：（1）连接BD，OD，OE，则∠BDC=∠BDA=90°，
∵E为AB的中点，∴DE=

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AB=BE，
∴OD²+DE²=OB²+BE²=OE²，∴∠ODE=90°．
∴直线DE为圆O的切线；
（2）连接BF，∵BC为⊙O的直径，∴BF⊥CE，
∴在RT△BCE中，CF•CE=BC²，
同理在RT△ABC中，CD•CA=BC²，
∴CD•CA=CF•CB．

点评：熟练掌握圆的性质、切线的判定定理、直角三角形斜边上中线的性质、射影定理、勾股定理的逆定理等是解题的关键．