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【题目】函数.

(Ⅰ)当曲线在点处的切线与直线垂直时,判断函数在区间上的单调性;

(Ⅱ)若函数在定义域内有两个零点,求的取值范围.

【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ).

【解析】

,解得求得的范围,可得函数增区间,求得的范围,可得函数的减区间;Ⅱ)函数内有两个零点,等价于方程恰有两个不相等的正实根分两种情况讨论,不合题意时,利用导数研究函数的单调性以及函数的最值,结合零点存在定理列不等式求解即可.

(Ⅰ)由题意知,函数的定义域为.

,解得.

. 当时,,则恒成立,

故函数在区间上单调递增.

(Ⅱ)函数的定义域为.若函数内有两个零点,即方程恰有两个不相等的正实根,

也就是方程恰有两个不相等的正实根.

时,>0恒成立,函数上是增函数,

∴函数最多一个零点,不合题意,舍去.

时,由;由.

所以函数单调递减,在内单调递增.

所以的最小值是,即

. ,解得.

因为所以在内有一个零点.

因为,所以

.

于是所以在内有一个零点.

故实数a的取值范围是.

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3)根据(1),(2)的数据,是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学,数学也特别优秀?

P

0.50

0.40

0.010

0.005

0.001

k0

0.455

0.708

6.635

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