【题目】函数.
(Ⅰ)当曲线在点处的切线与直线垂直时,判断函数在区间上的单调性;
(Ⅱ)若函数在定义域内有两个零点,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)由,解得,令求得的范围,可得函数增区间,求得的范围,可得函数的减区间;(Ⅱ)函数在内有两个零点,等价于方程恰有两个不相等的正实根,令,分两种情况讨论,不合题意;当时,利用导数研究函数的单调性以及函数的最值,结合零点存在定理,列不等式求解即可.
(Ⅰ)由题意知,函数的定义域为.
,,解得.,
. 当时,,则恒成立,
故函数在区间上单调递增.
(Ⅱ)函数的定义域为.若函数在内有两个零点,即方程恰有两个不相等的正实根,
也就是方程恰有两个不相等的正实根.
令,
.
当时,>0恒成立,函数在上是增函数,
∴函数最多一个零点,不合题意,舍去.
当时,由得;由得.
所以函数在单调递减,在内单调递增.
所以的最小值是,即,
. ,,解得.
因为所以在内有一个零点.
因为,所以
.
于是所以在内有一个零点.
故实数a的取值范围是.
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【题目】在2018年10月考考试中,成都外国语学校共有250名高三文科学生参加考试,数学成绩的频率分布直方图如图:
(1)如果成绩大于130的为特别优秀,这250名学生中本次考试数学成绩特别优秀的大约多少人?
(2)如果这次考试语文特别优秀的有5人,语文和数学两科都特别优秀的共有2人,从(1)中的数学成绩特别优秀的人中随机抽取2人,求选出的2人中恰有1名两科都特别优秀的概率.
(3)根据(1),(2)的数据,是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学,数学也特别优秀?
①
②
P() | 0.50 | 0.40 | … | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 0.455 | 0.708 | … | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】如图,矩形中,,为边的中点.将沿直线翻折成(点不落在底面内).若为线段的中点,则在翻转过程中,以下命题正确的是( )
A.四棱锥体积最大值为
B.线段长度是定值;
C.平面一定成立;
D.存在某个位置,使;
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为,直线,直线 .以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.
(1)求直线,的直角坐标方程以及曲线的参数方程;
(2)已知直线与曲线交于两点,直线与曲线交于两点,求的面积.
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【题目】已知抛物线:上任意一点到其焦点的距离的最小值为1.,为抛物线上的两动点(、不重合且均异于原点),为坐标原点,直线、的倾斜角分别为,.
(1)求抛物线方程;
(2)若,求证直线过定点;
(3)若(为定值),探求直线是否过定点,并说明理由.
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【题目】已知椭圆,且椭圆C上恰有三点在集合中.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点O为坐标原点,直线AB与椭圆交于A、B两点,且满足,试探究:点O到直线AB的距离是否为定值.如果是,请求出定值:如果不是,请明说理由.
(3)在(2)的条件下,求面积的最大值.
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