Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点A到右焦点F₂的距离为$\sqrt{3}$，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，过F₂的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）探究：当△MF₁N的内切圆的面积最大时，直线l的倾斜角是多少．

Answer 1

分析 （1）由于上顶点A到右焦点F₂的距离为$\sqrt{3}$，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出；
（2）设直线l的方程为my+$\sqrt{2}$=x，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为（m²+3）y²+2$\sqrt{2}$my-1=0，利用根与系数的关系可得：|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$．可得${S}_{△M{F}_{1}N}$=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}||{y}_{1}-{y}_{2}|$，另一个方面：${S}_{△M{F}_{1}N}$=$\frac{1}{2}r（|M{F}_{1}|+|N{F}_{1}|+|MN|）$=2ar=2$\sqrt{3}$r（r为△MF₁N的内切圆的半径），即可用m表示r，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵上顶点A到右焦点F₂的距离为$\sqrt{3}$，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{3}$，b=1，c=$\sqrt{2}$，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．
（2）设直线l的方程为my+$\sqrt{2}$=x，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my+\sqrt{2}=x}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，化为（m²+3）y²+2$\sqrt{2}$my-1=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+3}$，y₁y₂=$\frac{-1}{{m}^{2}+3}$．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{3{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+3}$．
∴${S}_{△M{F}_{1}N}$=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}||{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{1}{2}×2c×$$\frac{2\sqrt{3{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+3}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{3{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+3}$，
另一个方面：${S}_{△M{F}_{1}N}$=$\frac{1}{2}r（|M{F}_{1}|+|N{F}_{1}|+|MN|）$=2ar=2$\sqrt{3}$r（r为△MF₁N的内切圆的半径）．
∴2$\sqrt{3}$r=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{3{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+3}$，
∴r=$\frac{\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+3}$，∴r²=$\frac{2（{m}^{2}+1）}{（{m}^{2}+3）^{2}}$=$\frac{2}{{m}^{2}+1+\frac{4}{{m}^{2}+1}+4}$≤$\frac{2}{2\sqrt{4}+4}$=$\frac{1}{4}$，当且仅当m²=1，即m=±1时取等号．
∴直线l的方程为：y=$±（x-\sqrt{2}）$．
∴直线l的倾斜角为：45°或135°．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、三角形面积的不同表示方法、三角形内切圆的面积、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．