Question

如图，以长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的一个顶点D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．已知点B₁的坐标是（2，1，1）．
（1）证明向量

AD1

，

A1C1

，

BA1

是共面向量；
（2）求异面直线AC₁与A₁D所成角的余弦值；
（3）求二面角C-AC₁-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由条件求得

AD1

、

.

A1C1

、

BA1

的坐标，可得

AD1

=

.

A1C1

+

BA1

，从而判断向量

AD1

，

.

A1C1

，

BA1

是共面向量．
（2）求得

AC1

、

A1D

 的坐标，由此求得cos＜

AC1

，

A1D

＞=

AC1 • A1D

| AC1 |•| A1D |

的值，可得异面直线AC₁
与A₁D所成角的余弦值．
（3）求出平面ACC₁的法向量

p

=（1，2，0），平面A C₁D的法向量

q

=（0，1，-1），可得cos＜

p

，

q

＞
=

10

5

，由于向量

p

，

q

的夹角等于二面角C-AC₁-D的平面角，可得所求二面角C-AC₁-D的平面角的余弦值．

解答：解：（1）证明：∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的一个顶点B₁的坐标是（2，1，1），D（0，0，0），
∴A（2，0，0），A₁（2，0，1），D₁（0，0，1），C（0，1，0），C₁（0，1，1），B（2，1，0），

AD1

=（0，0，1）-（2，0，0）=（-2，0，1），

AC1

=（0，1，1）-（2，0，1）=（-2，1，0），

BA1

=（2，0，1）-（2，1，0）=（0，-1，1），
∴

AD1

=

.

A1C1

+

BA1

，向量

AD1

，

.

A1C1

，

BA1

 是共面向量．
（2）

AC1

=（0，1，1）-（2，0，0）=（-2，1，1），

A1D

=（0，0，0）-（2，0，1）=（-2，0，-1），
故 cos＜

AC1

，

A1D

＞=

AC1 • A1D

| AC1 |•| A1D |

=

4-1

6 • 5

=

30

10

，
可得异面直线AC₁与A₁D所成角的余弦值为

30

10

．
（3）设平面ACC₁的法向量

p

=（a，b，c），

AC

=（-2，1，0），

CC1

=（0，0，1）
由p⊥

AC

，p⊥

CC1

，可得

p • AC =0 p • CC1

，即

b=2a c=0

．
可取p=（1，2，0），设平面A C₁D的法向量

q

=（m，n，k），由于

DA

=（2，0，0），

DC1

=（0，1，1），
由

q

⊥

DA

，

q

⊥

DC1

，得

q • DC1 =0 q • DA =0

，即

n=-k m=0

，故可取

q

=（0，1，-1），
cos＜

p

，

q

＞=

0+2+0

5 • 2

=

10

5

，由于向量

p

，

q

的夹角等于二面角C-AC₁-D的平面角，
故所求二面角C-AC₁-D的平面角的余弦值为

10

5

．

点评：本题主要考查两个向量共面的条件，两个向量坐标形式的运算，两个向量的夹角公式的应用，求异面直线所成的角、二面角的大小，属于中档题．