Question

【题目】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，满足.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线过点，且与椭圆只有一个公共点，直线与的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点的两点，，与直线交于点（介于，两点之间）.

（i）求证：；

（ii）是否存在直线，使得直线、、、的斜率按某种顺序能构成等比数列？若能，求出的方程；若不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（i）见解析（ii）

【解析】试题分析：

（1）设，由题意可得，所以. 结合椭圆的定义可得. 则椭圆C的标准方程为.

（2）(ⅰ)设方程为，与联立可得. 则的斜率是.

联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得 ，和中，由正弦定理得，，结合几何关系可得成立.

(ⅱ)由(ⅰ)知，， ，.假设存在直线，满足题意.不妨设，，若按某种排序构成等比数列，则，则，此时直线与平行或重合，与题意不符，则不存在直线满足题意.

试题解析：

（1）设，

则=，所以.

因为=4，所以.

故椭圆C的标准方程为.

（2）(ⅰ)设方程为，与联立，消得

, 由题意知，解得.

因为直线与的倾斜角互补，所以的斜率是.

设直线方程：，，联立，整理得，由，得，，；

直线、的斜率之和

所以关于直线对称，即，

在和中，由正弦定理得

，，

又因为，

所以

故成立.

(ⅱ)由(ⅰ)知，， ，.

假设存在直线，满足题意.不妨设，，若按某种排序构成等比数列，设公比为，则或或.

所以，则，此时直线与平行或重合，与题意不符，

故不存在直线，满足题意.