Question

在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c向量

m

=（cosA，sinA），向量

n

=（

2

-sinA，cosA），若|

m

+

n

|=2．
（1）求角A的大小；
（2）若b=4

2

，且c=

2

a，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）先根据向量模的运算表示出|

m

+

n

|2，然后化简成y=Asin（wx+ρ）+b的形式，再根据正弦函数的性质和|

m

+

n

|=2可求出A的值．
（2）先根据余弦定理求出a，c的值，再由三角形面积公式可得到最后答案．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

+

n

=(

2

+cosA-sinA，cosA+sinA)
∴|

m

+

n

|2=(

2

+cosA-sinA)2+(cosA+sinA)2
=2+2

2

(cosA-sinA)+(cosA-sinA)2+(cosA+sinA)2
=2+2

2

(cosA-sinA)+2=4-4sin(A-

π

4

)
∵|

m

+

n

|=2∴4-4sin(A-

π

4

)=4sin(A-

π

4

)=0
又∵0＜A＜π∴-

π

4

＜A-

π

4

＜

3π

4

∴A-

π

4

=0，
∴A=

π

4

（Ⅱ）由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA，又b=4

2

，c=

2

a，A=

π

4

，得
a2=32+2a2-2×4

2

×

2

a•

2

2

，
即a2-8

2a

+32=0，解得a=4

2

∴c=8
∴

S

△ABC

=

1

2

b•csinA=

1

2

×4

2

×8×sin

π

4

=16

S

△ABC

=

1

2

×(4

2

)2=16

点评：本题主要考查向量的求模运算、余弦定理和三角形面积公式的应用．向量和三角函数的综合题是高考的热点问题，每年必考，要给予充分重视．