Question

设f(x)=

1

3

x3-(1+a)x2+4ax+24a，其中a∈R．
（1）若f（x）有极值，求a的取值范围；
（2）若当x≥0，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的导数，由题意知，导数等于0有两个不同的实数根，△=4（1+a）²-16a=4（1-a）²＞0，由此求得a的取值范围；
（2）先将问题转化为求函数在x≥0时的最小值问题，再结合（1）中的单调性可确定f（x）在x=2a或x=0处取得最小值，求出最小值，即可得到a的范围．

解答：解：（1）由题意可知：f'（x）=x²-2（1+a）x+4a，且f（x）有极值，
则f'（x）=0有两个不同的实数根，故△=4（1+a）²-16a=4（1-a）²＞0，
解得：a≠1，即a∈（-∞，1）∪（1，+∞）（4分）
（2）由于x≥0，f（x）＞0恒成立，则f（0）=24a＞0，即a＞0（6分）
由于f'（x）=x²-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a），则
1当0＜a＜12时，f（x）3在x=2a4处取得极大值、在x=25处取得极小值，
则当x≥0时，minf(x)=f(2)=28a-

4

3

＞0，解得：a＞

1

21

；（8分）
6当a=17时，f'（x）≥08，即f（x）9在[0，+∞）10上单调递增，且f（0）=24＞011，
则f（x）≥f（0）＞0恒成立；（10分）
12当a＞113时，f（x）14在x=215处取得极大值、在x=2a16处取得极小值，
则当x≥0时，minf(x)=f(2a)=-

4

3

a3+4a2+24a＞0，解得：-3＜a＜6
综上所述，a的取值范围是：

1

21

＜a＜6（12分）

点评：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性．解答关键是利用函数在某点存在极值的条件，利用导数判断函数的单调性的方法，以及函数的恒成立问题的解决方法．