Question

设点P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）与圆x²+y²=a²+b²在第一象限的交点，F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，且|PF₁|=2|PF₂|，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  5

• B、

  5

  2

• C、

  10

• D、

  10

  2

Answer 1

分析：由P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞，b＞0)与圆x²+y²=a²+b²在第一象限的交点，推导出∠F₁PF₂=90°．再由|PF₁|=2|PF₂|，知|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，由此求出c=

5

a，从而得到双曲线的离心率．

解答：解：∵P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞，b＞0)与圆x²+y²=a²+b²在第一象限的交点，
∴点P到原点的距离|PO|=

a2+b2

=c，
∴∠F₁PF₂=90°，
∵|PF₁|=2|PF₂|，
∴|PF₁|-|PF₂|=|PF₂|=2a，∴|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
∴16a²+4a²=4c²，
∴c=

5

a，
∴e=

c

a

=

5

．
故选A．

点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．