Question

已知三棱锥S—ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心.

(1)求证：BC⊥SA
(2)若S在底面ABC内的射影为O，证明：O为底面△ABC的中心；
(3)若二面角H—AB—C的平面角等于30°，SA=，求三棱锥S—ABC的体积.

Answer 1

(1)先证明 (2) 先证O为底面△ABC的垂心 (3)

试题分析：证明：(1) AH⊥面SBC，BC在面SBC内   ∴AH⊥BC
 

,同理,因此O为底面△ABC的垂心，而三棱锥S—ABC的底面是正三角形，故O为底面△ABC的中心

 (3)由（1）有SA=SB=SC=，设CO交AB于F，则CF⊥AB， CF是EF在面ABC内的射影，

EF⊥AB，
∠EFC为二面角H—AB—C的平面角，∠EFC=30°，∠ECF=60°，
OC=，SO=3，AB=3，
  
点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三角形中心的证明，考查三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，合理地化空间问题为平面问题．