Question

给出下列命题：
①存在实数α，使sinα•cosα=

1

3

②函数y=sin(

3

2

π+x)是偶函数
③x=

π

8

是函数y=sin(2x+

5

4

π)的一条对称轴方程
④若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：由正弦函数的值域知①正确；由于②中的函数利用诱导公式可化为-cosx，可得②正确；根据当x=

π

8

时，函数y=sin(2x+

5

4

π)取得最小值-1，可得③正确；通过举反例可得④不正确．

解答：解：①即 存在实数α，使 sin2α=

2

3

∈[-1，1]，故①正确．
∵y=sin(

3

2

π+x)=-cosx，显然是偶函数，故②正确．
∵当x=

π

8

时，函数y=sin(2x+

5

4

π)取得最小值-1，故x=

π

8

是函数y=sin(2x+

5

4

π)的一条对称轴方程，故③正确．
设α=

π

3

，β=

π

3

-2π，满足α＞β，但sinα=sinβ，故④不正确．
故答案为：①②③．

点评：本题考查三角函数的奇偶性、对称性、定义域和值域，二倍角公式的应用，属于中档题．