Question

【题目】已知椭圆的左焦点为，经过点的直线与椭圆相交于，两点，点为线段的中点，点为坐标原点.当直线的斜率为时，直线的斜率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点为椭圆的左顶点，点为椭圆的右顶点，过的动直线交该椭圆于，两点，记的面积为，的面积为，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由点差法及椭圆的几何性质即可求出椭圆的标准方程（2）设直线的方程为，求出三角形面积得，联立方程组，由根与系数的关系可得关于m的函数式，换元后由均值不等式求最值即可.

（1）设，，则点，由条件知，

直线的斜率为，直线的斜率为，

而，两式作差得，，

所以，即，

又左焦点为，所以，

所以椭圆的标准方程为.

（2）设直线的方程为，记，过标为，，

则，

，

所以.

联立方程，，消去，得，

所以，，

，令，则，且，当且仅当时等号成立，

所以，即的最大值为.