Question

如图，在一条笔直的高速公路MN的同旁有两个城镇A、B，它们与MN的距离分别是akm与8km（a＞8），A、B在MN上的射影P、Q之间距离为12km，现计划修普通公路把这两个城镇与高速公路相连接，若普通公路造价为50万元/km；而每个与高速公路连接的立交出入口修建费用为200万元．设计部门提交了以下三种修路方案：
方案①：两城镇各修一条普通公路到高速公路，并各修一个立交出入口；
方案②：两城镇各修一条普通公路到高速公路上某一点K，并在K点修一个公共立交出入口；
方案③：从A修一条普通公路到B，再从B修一条普通公路到高速公路，也只修一个立交出入口．请你为这两个城镇选择一个省钱的修路方案．

Answer 1

分析：方案①修（8+a）km普通公路和两个立交出入口，所需资金为A₁=50（8+a）+400（万元）；
方案②若取B关于MN的对称点B'，连AB'与MN交于K，在K修一个出入口，则路程最短，所需资金为A₂=50

(a+8)2+122

+200（万元）；
方案③连接AB沿ABQ修路，在Q修一个出入口，所需资金为A₃=50[

(a-8)2+122

+8]+200（万元）；
由a＞8，比较A₁、A₂、A₃的大小，可知选择哪种方案所需资金最少．

解答：解：方案①：共修（8+a）km普通公路和两个立交出入口，所需资金为A₁=50（8+a）+400=50（a+16）万元；
方案②：取B关于MN的对称点B'，连AB'与MN交于K，在K修一个出入口，则路程最短，所需资金为：A2=50

(a+8)2+122

+200=50[

(a+8)2+144

+4]万元；
方案③：连接AB沿ABQ修路，在Q修一个出入口，所需资金为：A3=50[

(a-8)2+122

+8]+200=50[

(a-8)2+144

+12]万元；
由于a＞8，比较大小，有a+16＞

(a+8)2+144

+4＞

(a-8)2+144

+12；∴A₁＞A₂＞A₃，
故选择方案③所需资金最少．

点评：本题考查了含有二次根号的函数模型的应用，二次根式比较大小时，通常用两边平方法消去根号，本题是中档题．