Question

曲线y=x²+1上过点P的切线与曲线y=-2x²-1相切，求点P的坐标．

Answer 1

分析：先设P（x₀，y₀），根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=x₀处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出化简，根据此直线与曲线y=-2x²-1相切，转化成方程2x²+2x₀x+2-x₀²=0只有一解，然后利用判别式进行求解即可．

解答：解：设P（x₀，y₀），由题意知曲线y=x²+1在P点的切线斜率为k=2x₀，
切线方程为y=2x₀x+1-x₀²，而此直线与曲线y=-2x²-1相切，
∴切线与曲线只有一个交点，即方程2x²+2x₀x+2-x₀²=0的判别式
△=4x₀²-2×4×（2-x₀²）=0．解得x₀=±

2

3

3

，y₀=

7

3

．
∴P点的坐标为（

2

3

3

，

7

3

）或（-

2

3

3

，

7

3

）．

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，以及直线与二次函数相切的条件，属于基础题．