Question

（2010•深圳二模）已知向量

m

=（sinx，-cosx），

n

=（cosθ，-sinθ），其中0＜θ＜π．函数f（x）=

m

•

n

在x=π处取最小值．
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）设A，B，C为△ABC的三个内角，若sinB=2sinA，f(C)=

1

2

，求A．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过向量的数量积以及两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过x=π处取最小值求θ的值；
（Ⅱ）发一：通过f(C)=

1

2

，求出C的值，利用三角形的内角和与sinB=2sinA，通过三角代换直接求A．
法二：通过f(C)=

1

2

，求出C的值，利用正弦定理和余弦定理，求出B，然后求出A．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

m

•

n

=sinxcosθ+cosxsinθ=sin（x+θ）…（2分）
又∵函数f（x）在x=π处取最小值，∴sin（π+θ）=-1，即  sinθ=-1…（3分）
又0＜θ＜π，∴θ=

π

2

…（5分）∴f(x)=sin(x+

π

2

)=cosx…6 分
（Ⅱ）法一：∵f(C)=

1

2

，∴cosC=

1

2

∵0＜C＜π，∴C=

π

3

．                  …8 分
∵A+B+C=π，∴B=

2π

3

-A…（9分）
代入sinB=2sinA中，∴sin(

2π

3

-A)=2sinA，∴sin

2π

3

cosA-cos

2π

3

sinA=2sinA，
∴tanA=

3

3

，…（10分）
∵0＜A＜π，∴A=

π

6

．        …（12分）
（Ⅱ）法二：∵f(C)=

1

2

，∴cosC=

1

2

∵0＜C＜π，∴C=

π

3

．           …8 分
∵sinB=2sinA，由正弦定理有b=2a．          …（9分）
又由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+4a2-2a•2a•cos

π

3

=3a2
∴a²+c²=b²，∴B=

π

2

…（11分）
∵A+B+C=π，∴A=

π

6

．             …（12分）

点评：本题通过向量的数量积，考查三角函数的基本公式的应用，正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力，好题，常考题型．