Question

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+

3

asinC-b-c=0．
（1）求A；
（2）若边b，c是方程x2-2

3

x+2=0的两根，求边a的长及△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理将acosC+

3

asinC-b-c=0转化为sinAcosC+

3

sinAsinC-sinB-sinC=0，再由sinB=sin（A+C），即可求得

3

sinA=1+cosA，利用倍角公式可求得A；

解答：解：（1）∵acosC+

3

asinC-b-c=0
利用正弦定理得：sinAcosC+

3

sinAsinC-sinB-sinC=0，
∵sinB=sin（A+C），
sinAcosC+

3

sinAsinC-sin（A+C）-sinC=0，
sinAcosC+

3

sinAsinC-sinAcosC-cosAsinC-sinC=0，
∴

3

sinAsinC=sinC+cosAsinC

3

sinA=1+cosA=2cos2

A

2

，而sinA=2sin

A

2

cos

A

2

，
∴tan

A

2

=

3

3

，
∵0＜

A

2

＜

π

2

∴

A

2

=

π

6

，
∴A=

π

3

；
（2）依题意，b+c=2

3

，bc=2，
∴a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-bc=12-6=6，
∴a=

6

点评：本题考查正弦定理，考查倍角公式与三角函数间的关系式，考查分析、转化与运算能力，属于难题．