Question

【题目】如图，平面，分别是的中点，，.

（1）求二面角的余弦值；

（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：先利用所给的垂直关系建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标（1）判定是平面的一个法向量，求出平面的一个法向量，利用平面的法向量求二面角的余弦值；（2）先利用三点共线设出点的坐标，利用空间向量的夹角公式得到函数关系式，利用二次函数求其最值．

试题解析：以为正交基底建立空间直角坐标系，

则各点的坐标为，，，．

（Ⅰ）因为平面，所以是平面的一个法向量，．因为，．

设平面的法向量为，则，，

即令，解得

所以是平面的一个法向量． 从而

所以二面角的余弦值为

（Ⅱ）因为，设，

又，则，又，

从而

设, 则

当且仅当，即时，的最大值为.

因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．

又因为，所以