Question

【题目】在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，设与交于、两点，中点为，的垂直平分线交于、.以为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.

（1）求的直角坐标方程与点的直角坐标；

（2）求证：.

Answer 1

【答案】（1），；（2）见解析.

【解析】

（1）将曲线的极坐标方程变形为，再由可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线的方程与曲线的方程联立，求出点、的坐标，即可得出线段的中点的坐标；

（2）求得，写出直线的参数方程，将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，利用韦达定理求得的值，进而可得出结论.

（1）曲线的极坐标方程可化为，即，

将代入曲线的方程得，

所以，曲线的直角坐标方程为.

将直线的极坐标方程化为普通方程得，

联立，得或，则点、，

因此，线段的中点为；

（2）由（1）得，，

易知的垂直平分线的参数方程为（为参数），

代入的普通方程得，，

因此，.