Question

在平面直角坐标系中，已知A₁（-3，0），A₂（3，0），P（x，y），M(

x2-9

，0)，O为坐标原点，若实数λ使向量

A1P

，λ

OM

和

A2P

满足：λ2(

OM

)2=

A1P

•

A2P

，设点P的轨迹为W．
（Ⅰ）求W的方程，并判断W是怎样的曲线；
（Ⅱ）当λ=

3

3

时，过点A₁且斜率为1的直线与W相交的另一个交点为B，能否在直线x=-9上找到一点C，恰使△A₁BC为正三角形？请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知λ2(

OM

)2=

A1P

•

A2P

得λ²（x²-9）=x²-9+y²，即（λ²-1）x²-y²=9（λ²-1），对λ²分类讨论，即可得到结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）λ=

3

3

，

x2

9

+

y2

6

=1，由

x2 9 + y2 6 =1 y=x+3

可得5x²+18x+9=0，求得|A1B|=

12 2

5

，|A₁C|＞

12 2

5

，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）由已知λ2(

OM

)2=

A1P

•

A2P

得λ²（x²-9）=x²-9+y²，即（λ²-1）x²-y²=9（λ²-1）…（2分）
①λ²＞1，方程为

x2

9

-

y2

9(λ2-1)

=1，焦点在x轴上的双曲线
②λ²=0，圆心在原点，半径为3的圆
③0＜λ²＜1，

x2

9

+

y2

9(1-λ2)

=1，焦点在x轴上的椭圆
④λ²=1，直线 y=0…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）λ=

3

3

，

x2

9

+

y2

6

=1
设直线A₁B方程为y=x+3，由

x2 9 + y2 6 =1 y=x+3

可得5x²+18x+9=0…（10分）
∴A₁（-3，0），B（-

3

5

，

12

5

）
∴|A1B|=

12 2

5

，
在直线x=-9上，离A₁（-3，0），最短距离为6，
∴|A₁C|＞

12 2

5

，故无法形成正三角形
∴在直线x=-9上不存在点C，恰使△A₁BC为正三角形              …（12分）

点评：本题考查曲线与方程，考查分类讨论的数学思想，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．