Question

设函数f（x）=x³+ax²-a²x+1，g（x）=ax²-2x+1，其中a≠0
（I）若a=1，求函数f（x）在区间[-1，2]上最大值和最小值；
（II）若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）上均为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）将a的值代入，求出f（x）的导函数，令导函数大于0求出函数的单调递增区间，同时求出函数的单调递减区间，求出函数的极值，再求出函数在区间端点的值，从中选出最值．
（II）求出f（x）的导函数，求出g（x）的对称轴，通过对a的符号的讨论，写出函数的单调区间的端点与区间（a，a+2）的端点的关系，列出不等式，求出a的范围．

解答：解：（Ⅰ）∵a=1，
∴f（x）=x³+x²-x+1，
∴f′(x)=3(x-

1

3

)(x+1)，且x∈[-1，2]．                  
∴f（x）在区间[-1，

1

3

]上递减，[

1

3

，2]上递增，
∴f（x）在区间[-1，2]上的最大值为f（-1）=2与f（2）=11的最大者比较，
即f（x）在区间[-1，2]上的最大值为f（2）=11，最小值为f(

1

3

)=

22

27

． 
（Ⅱ）∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-

a

3

)(x+a)．    
当a＞0时，f（x）在（-∞，-a）和(

a

3

，+∞)上是增函数，g（x）在(

1

a

，+∞)上是增函数．
由题意得

a＞0 a≥ a 3 a≥ 1 a

解得a≥1．                        
当a＜0时，f（x）在(-∞，

a

3

)和（-a，+∞）上是增函数，g（x）在(-∞，

1

a

)上是增函数．
由题意得

a＜0 a+2≤ a 3 a+2≤ 1 a

解得a≤-3．
综上，a的取值范围为（-∞，-3]∪[1，+∞）．

点评：求函数在闭区间上的最值，一般利用导数求出函数的极值再求出函数在区间的两个端点的函数值，从中选出最值；求函数的单调区间，常利用导函数的符号与函数单调性的关系．