Question

（2009•天门模拟）已知两点A（-2，0），B（0，2），点P是曲线C：

x=1+cosa y=sina

上任意一点，则△ABP面积的最小值是（　　）

• A．3+

  2

• B．2
• C．3
• D．3-

  2

  ．

Answer 1

分析：利用点A，B的坐标即可得出直线AB的方程，|AB|．利用点到直线的距离公式即可得出点P到直线AB的距离d，可得△ABP面积S=

1

2

|AB|•d，再利用正弦函数的单调性即可得出面积最小值．

解答：解：∵两点A（-2，0），B（0，2），
∴直线AB的方程为

x

-2

+

y

2

=1，化为x-y+2=0，|AB|=

(-2)2+22

=2

2

．
点P到直线AB的距离d=

|1+cosα-sinα+2||

2

=

| 2 sin(α- π 4 )-3|

2

，
∴△ABP面积S=

1

2

|AB|•d
=

1

2

×2

2

×

| 2 sin(α- π 4 )-3|

2

=|

2

sin(α-

π

4

)-3|，
当且仅当sin(α-

π

4

)=1时，S取得最小值3-

2

．

点评：熟练掌握、截距式、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、正弦函数的单调性等是解题的关键．