Question

若直线过双曲线的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若过点与轴不平行的直线与双曲线相交于不同的两点的垂直平分线为，求直线在轴上截距的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）.（Ⅱ）直线在轴上的截距的取值范围为

试题分析：（Ⅰ）由得，，且，解得故双曲线的方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题意可设过点的直线为由得，，，且设的中点，则，故直线的方程为，即所以直线在轴上的截距，由，且得，所以.即直线在轴上的截距的取值范围为
点评：中档题，结合双曲线的几何性质，应用“待定系数法”求得了双曲线标准方程。研究直线与圆锥曲线的位置关系，往往应用韦达定理，通过“整体代换”，简化解题过程，实现解题目的。（II）中根据方程组有解，确定得到直线斜率范围，易于忽视。