Question

如图A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限． C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为(

3

5

，

4

5

)，△AOB为正三角形．
（Ⅰ）求cos∠COB；
（Ⅱ）求|BC|²的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过△AOB为正三角形可知∠AOB=60°，通过点A坐标可知sin∠COA，cos∠COA．再通过cos∠COB=cos（∠COA+∠BOA）利用余弦的两脚和公式求出cos∠COB．
（Ⅱ）通过余弦定理及（Ⅰ）中的cos∠COB进而求出|BC|²的值．

解答：解：（Ⅰ）因为A点的坐标为(

3

5

，

4

5

)，
根据三角函数定义可知sin∠COA=

4

5

，cos∠COA=

3

5

，
因为三角形AOB为正三角形，所以∠AOB=60°，
所以cos∠COB=cos（∠COA+60°）=cos∠COAcos60°-sin∠COAsin60°，
=

3

5

•

1

2

-

4

5

•

3

2

=

3-4 3

10

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cos∠COB=

3-4 3

10

，
所以|BC|²=|OC|²+|OB|²-2|OC||OB|cos∠BOC=1+1-2×

3-4 3

10

=

7+4 3

5

．

点评：本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题．