Question

设函数f(x)=

3

sinx-

sin( π 2 -2x)sin( π 2 -x)

cos(π+x)

．
（Ⅰ）求f（x）的最值；
（Ⅱ）当θ∈(0，  

π

2

)时，若f（θ）=1，求θ的值．

Answer 1

分析：（I）利用三角函数的诱导公式、倍角公式、二次函数的单调性即可得出；
（II）利用三角函数的诱导公式、倍角公式、特殊角的三角函数值即可得出．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

sinx-

sin( π 2 -2x)sin( π 2 -x)

cos(π+x)

=

3

sinx-

cos2xcosx

-cosx

=

3

sinx+cos2x
=

3

sinx+1-2sin2x=-2(sinx-

3

4

)2+

11

8

故当sinx=

3

4

时，f(x)max=

11

8

当sinx=-1时，f(x)min=

3

×(-1)+1-2×(-1)2=-

3

-1．
（Ⅱ）由f(θ)=1⇒

3

sinθ-

sin( π 2 -2θ)sin( π 2 -θ)

cos(π+θ)

=1⇒

3

sinθ+cos2θ=1
即：

3

sinθ+1-2sin2θ=1⇒2sin2θ-

3

sinθ=0⇒sinθ(2sinθ-

3

)=0
又θ∈(0，  

π

2

)，
∴sinθ=

3

2

，从而θ=

π

3

．

点评：本题考查三角函数的诱导公式、两角和差等公式和三角函数化简及最值等知识，符合高考考纲要求，考查了基本运算能力，属于基础题．