Question

已知关于x的方程x²+（1+a）x+1+a+b=0（a，b∈R）的两根分别为x₁、x₂，且0＜x₁＜1＜x₂，则

a

a+b

的取值范围是

（-∞，-1）∪（2，+∞）

．

Answer 1

分析：由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x₁＜1＜x₂，可令f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b，结合对应二次函数性质得到

f(0)＞0 f(1)＜0

，然后在平面直角坐标系中，做出满足条件的可行域，分析

b

a

的几何意义，然后数形结合可求得1+

b

a

的范围，继而可求得

a

a+b

的取值范围．

解答：解：由程x²+（1+a）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0，
故函数f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b图象开口方向朝上，
又∵方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x₁＜1＜x₂
则

f(0)＞0 f(1)＜0

即

1+a+b＞0 1+1+a+1+a+b＜0

．
即其对应的平面区域如下图阴影示：
∵若a=0，由

1+a+b＞0 1+1+a+1+a+b＜0

得-1＜b＜-3，这不可能，故a≠0，
∴

a

a+b

=

1

1+ b a

，
∵

b

a

=

b-0

a-0

，其几何意义为可行域内的点与原点连线的斜率，
由

1+a+b=0 1+1+a+1+a+b=0

得P（-2，1），
∴(

b

a

)max=

1-0

-2-0

=-

1

2

，(

b

a

)min=-2，
∴-1＜

b

a

+1＜

1

2

．
若-1＜

b

a

+1＜0，则

1

1+ b a

＜-1，
若0＜

b

a

+1＜

1

2

，则

1

1+ b a

＞2．
∴

a

a+b

的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞）．
故答案为：（-∞，-1）∪（2，+∞）．

点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，三个二次之间的关系，线性规划，其中由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x₁＜1＜x₂，结合二次函数性质得到

f(0)＞0 f(1)＜0

是解答本题的关键，考查化归思想与分类讨论思想、数形结合思想的综合应用，属于难题．