Question

在数列{a_n}中，a2=

1

4

，且（n-a_n）a_n+1=（n-1）a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（I）利用数列递推式，代入计算，即可得到结论；
（II）根据（I）的结论，猜想a_n的表达式，再根据数学归纳法证明步骤，证明即可．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，∵a2=

1

4

，∴解得a₁=1，
当n≥2时，an+1=

(n-1)an

n-an

，得a3=

1

7

，a4=

1

10

．    …（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：an=

1

3n-2

（n∈N^*）．…（4分）
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当n=1或2时，猜想显然成立；
（2）假设当n=k（k∈N^*且k≥2）时猜想成立，即ak=

1

3k-2

，
那么当n=k+1时，ak+1=

(k-1)ak

k-ak

=

(k-1)• 1 3k-2

k- 1 3k-2

=

1

3(k+1)-2

，
所以，n=k+1时猜想也成立．
根据（1）和（2），可知猜想对任意的n∈N^*都成立．…（7分）

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．