Question

【题目】已知数列{an}的首项a1=2，an+1=2an﹣1（n∈N*） （Ⅰ）写出数列{an}的前5项，并归纳猜想{an}的通项公式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中所猜想的通项公式．

Answer 1

【答案】解：（I）a1=2，a2=3，a3=5，a4=9，a5=17．

猜想：an=2n﹣1+1．

（II）证明：当n=1时，猜想显然成立，

假设n=k（k≥1）时，猜想成立，即ak=2k﹣1+1，

∴ak+1=2ak﹣1=2（2k﹣1+1）﹣1=2k+1，

即n=k+1时，猜想成立，

∴an=2n﹣1+1（n∈N*）恒成立．

【解析】（I）根据递推公式计算并猜想通项公式；（II）先验证n=1，假设n=k猜想成立，再利用递推公式得出ak+1即可得出结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解归纳推理(根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理)．