【题目】如图所示,在四棱台中, 底面,四边形为菱形, , .
(Ⅰ)若为中点,求证: 平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】(Ⅰ)要证直线与平面垂直,现在由与底面垂直有,因此还要证一个垂直,证,这可通过等边三角形得证,从而有需要的结论,因此证得线面垂直;
(Ⅱ)要求直线与平面所成的角,分别以为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系 , 、、、 ,求出平面的法向量,由直线的方向向量与平面法向量夹角得线面角.
试题解析:(Ⅰ) 四边形为菱形, ,连结,则为等边三角形,
又为中点, ,由 得, ,
底面, 底面, ,又 ,
平面
(Ⅱ)四边形为菱形, , ,
得, , ,又底面,
分别以为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系 ,
、、、 ,
, , ,
设平面的一个法向量 ,
则有,令,则
直线与平面所成角的正弦值
.
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【题目】某电子商务公司对10 000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中的a=_____;
(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_______.
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【题目】对于函数,若在定义域内存在实数,满足,则称为“局部奇函数”.
(1)已知二次函数,试判断是否为“局部奇函数”?并说明理由;
(2)若是定义在区间上的“局部奇函数”,求实数的取值范围;
(3)若为定义域上的“局部奇函数”,求实数的取值范围;
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【题目】如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件A)的概率是,取到方块(事件B)的概率是,问:
(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少?
(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?
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【题目】为了估计某自然保护区中天鹅的数量,可以使用以下方法:先从该保护区中捕出一定数量的天鹅,例如200只,给每只天鹅做上不影响其存活的记号,然后放回保护区,经过适当的时间,让其和保护区中其余的天鹅充分混合,再从保护区中捕出一定数量的天鹅,例如150只,查看其中有记号的天鹅,设有20只,试根据上述数据,估计该自然保护区中天鹅的数量.
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【题目】某公司租赁甲、乙两种设备生产, 两类产品,甲种设备每天能生产类产品5件和类产品10件,乙种设备每天能生产类产品6件和类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为300元,设备乙每天的租赁费为400元,现该公司至少要生产类产品50件, 类产品140件,则所需租赁费最少为__________元.
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【题目】媒体为调查喜欢娱乐节目是否与性格外向有关,随机抽取了400名性格外向的和400名性格内向的居民,抽查结果用等高条形图表示如下图:
(1)填写完整如下列联表;
(2)根据列联表的独立性检验,能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢娱乐节目与性格外向有关?
参考数据及公式:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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