Question

已知二面角α-l-β的大小为60°，点B，D棱l上，A∈α，C∈β，AB⊥l，BC⊥l，AB=BC=1，BD=2，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（　　）

• A．

  5

  10

• B．

  10

  10

• C．

  2

  4

• D．

  5

  2

Answer 1

分析：如图所示：作DE∥AB，由题意可得AE⊥平面ABC，ABDE为平行四边形，△CDE中，由余弦定理求得cos∠CDE 的值，
即为所求．

解答：解：如图所示：作DE∥AB，且DE=AB，连接 AE、ED、CD．
∵二面角α-l-β的大小为60°，点B，D棱l上，A∈α，C∈β，AB⊥l，BC⊥l，AB=BC=1，BD=2，
∴AE⊥平面ABC，∠ABC=60°，故△ABC是等边三角形，故AC=1．AE=BD=2，且ABDE为平行四边形．
∴CE=

CA2+AE2

=

5

．再由 CD=

CB2+BD2

=

5

，DE=AB=1，
在△CDE中，由余弦定理可得 5=1+5-2×1×

5

cos∠CDE，
故cos∠CDE=

5

10

，即异面直线AB与CD所成角的余弦值为

5

10

，
故选A．

点评：本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角，是解题的关键，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．