【题目】已知函数, 为自然对数的底数.
(1)若当时, 恒成立,求的取值范围;
(2)设,若对恒成立,求的最大值.
【答案】(1) (2) 的最大值为,此时,
【解析】试题分析:(1)因为,所以恒成立,由于,所以设,则恒成立,根据一次函数单调性即得的取值范围;(2)令,则原问题转化为对恒成立.根据二次求导可得, ,即得,再利用导数求函数最大值,即得的最大值.
试题解析:(1)由题意得,且,注意到
设,则,则为增函数,且.
讨论如下:
①若, ,得在上单调递增,有,得在上单调递增,有,合题意;
②若,令,得,则当时, ,得在上单调递减,有,得在上单调递减,有,舍去.
综上, 的取值范围.
(2)当时, ,即.
令,则原问题转化为对恒成立.
令, .
若,则,得单调递增,当时, , 不可能恒成立,舍去;
若,则;
若,则易知在处取得最小值,所以, ,将看做新的自变量,即求函数的最大值,
则,令,得.
所以在上递增,在上递减,所以,
即的最大值为,此时, .
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【题目】已知等差数列{an}中,公差d>0,其前n项和为Sn,且满足:a2a3=45,a1+a4=14.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)通过公式bn=构造一个新的数列{bn}.若{bn}也是等差数列,求非零常数c;
(3)对于(2)中得到的数列{bn},求f(n)= (n∈N*)的最大值.
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【题目】已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)及=+t,
求:(1)t为何值时,点P在x轴上?在y轴上?在第二象限?
(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值?若不能,请说明理由.
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【题目】已知命题:关于的不等式无解;命题:指数函数是增函数.
(1)若命题为真命题,求的取值范围;
(2)若满足为假命题为真命题的实数取值范围是集合,集合,且,求实数的取值范围.
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【题目】给出下列说法:
①数列,,,,…的一个通项公式是;
②当时,不等式对一切实数x都成立;
③函数是周期为的奇函数;
④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内.
其中,正确说法序号是_________.
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【题目】已知|x|≤2,|y|≤2,点P的坐标为(x,y).
(1)求当x,y∈R时,P满足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率.
(2)求当x,y∈Z时,P满足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率.
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