Question

已知数列的前项和，数列满足．
（1）求
（2）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（3）设，数列的前项和为，求满足的的最大值．

Answer 1

（1）；（2）证明详见解析，；（3）的最大值为．

试题分析：（1）根据条件中，可令，结合，即可得：；（2）欲证是等差数列，而条件中，因此可以首先根据数列满足的条件探究与满足的关系，进而可以得到数列中与满足的关系：当时，，
∴，即，∴，
又∵ ，∴，而，∴是以为首项，为公差的等差数列，；
（3）由（2）结合条件，可得，因此可以考虑采用裂项相消法求数列的前项和：，从而可将转化为关于的不等式：，结合，即可知的最大值为．
试题解析：（1）∵，∴令n=1，；
（2）证明：在中，当时，，
∴，即，∴，
又∵ ，∴，而，∴是以为首项，为公差的等差数列，
∴，∴；
（3）由（2）及 ，∴c_n＝log₂＝log₂2ⁿ＝n，
∴，∴ ，
∴，
又∵，∴的最大值为．