Question

定义在R上的函数f（x）满足f(x+

3

2

)+f(x)=0，且函数y=f(x-

3

4

)为奇函数，给出下列命题：
（1）函数f（x）的周期为

3

2

，
（2）函数f（x）关于点(-

3

4

，0)对称，
（3）函数f（x）关于y轴对称．其中正确的是

（2）（3）

．

Answer 1

分析：先由恒等式 f(x+

3

2

)=-f(x)得出函数的周期是T=3，可以判断（1）错，再由函数 y=f(x-

3

4

)是奇函数求出函数的对称点来判断（2）、（3）；即可得答案．

解答：解：由题意定义在R上的函数y=f（x）满足条件 f(x+

3

2

)=-f(x)，
故有 f(x+

3

2

)=-f(x)=f(x-

3

2

)恒成立，故函数周期是3，
故（1）错；
又函数 y=f(x-

3

4

)是奇函数，其图象关于原点对称，
而函数y=f（x）的图象可由函数 y=f(x-

3

4

)的图象向左平移

3

4

个单位得到，
故函数y=f（x）的图象关于点 (-

3

4

，0)对称，
由此知（2）（3）是正确的选项，
故答案为：（2）（3）

点评：本小题主要考查函数奇偶性的性质、奇偶函数图象的对称性、函数的周期性等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．