Question

1．若不等式（a+2）x²+2（a+2）x+4＞0对一切恒成立，则a的取值范围是[-2，2）．

Answer 1

分析 当a+2=0，即a=-2时，不等式化为4＞0对一切实数x恒成立；当a+2≠0时，要使不等式（a+2）x²+2（a+2）x+4＞0对一切实数x恒成立，则$\left\{\begin{array}{l}{a+2＞0}\\{△=4（a+2）^{2}-16（a+2）＜0}\end{array}\right.$，求解不等式组得到a的范围，取并集得答案．

解答 解：若a+2=0，即a=-2，不等式化为4＞0对一切实数x恒成立；
若a+2≠0，要使不等式（a+2）x²+2（a+2）x+4＞0对一切实数x恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{a+2＞0}\\{△=4（a+2）^{2}-16（a+2）＜0}\end{array}\right.$，解得：-2＜a＜2．
综上，使得不等式（a+2）x²+2（a+2）x+4＞0对一切实数x恒成立的a的取值范围是[-2，2）．
故答案为：[-2，2）．

点评 本题考查恒成立问题，考查二次函数性质的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．