Question

【题目】如图，在四棱柱中，，，，，，，侧棱底面，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）设点在线段上，且，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BD⊥平面A1ACC1．

（2）设Q（x，y，z），直线QC与平面A1ACC1所成角为θ，求出平面A1ACC1的一个法向量，利用向量法能求出直线CQ与平面A1ACC1所成角的正弦值．

（1）证明：∵平面，，

∴以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，

所以，，，

所以，

.

所以，，

因为，平面，

平面，

所以平面.

（2）设，直线与平面所成角为，由（1）知平面的一个法向量为.

∵，

∴，，

平面法向量，

.