Question

已知实数a＞0，b＜0，方程x²-ax+b=0在区间（-1，1）上恰有一根，求

a+1

b+1

的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：方程x²-ax+b=0在区间（-1，1）上恰有一根，令f（x）=x²-ax+b，运用零点存在定理可得f（-1）f（1）＜0，在平面直角坐标系中，画出可行域，再由

a+1

b+1

=

a-(-1)

b-(-1)

表示点P（-1，-1）和（b，a）两点的斜率，通过图象观察即可得到范围．

解答： 解：由于实数a＞0，b＜0，
方程x²-ax+b=0在区间（-1，1）上恰有一根，
令f（x）=x²-ax+b，则f（-1）f（1）＜0，
即为（1-a+b）（1+a+b）＜0，
作出不等式（1-a+b）（1+a+b）＜0且a＞0，b＜0的点（b，a）
表示的平面区域，
由于

a+1

b+1

=

a-(-1)

b-(-1)

表示点P（-1，-1）和（b，a）两点的斜率，
由可行域可得，两点的斜率范围是（-1，0]∪（0，+∞）=（-1，+∞）．
即有

a+1

b+1

的取值范围为（-1，+∞）．

点评：本题考查二次方程的实根的分布，主要考查函数的零点存在定理的运用，运用不等式表示的平面区域，借助直线的斜率公式是解题的关键．