Question

13．某企业投资1千万元于一个高科技项目，每年可获利25%．由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金100万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过n年后该项目的资金为a_n万元．
（1）写出数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃，并猜想写出通项a_n．
（2）求经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过2千万元．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件写出数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃，然后猜想通项a_n．
（2）该项目的资金可以达到或超过2千万元．通过a_n≥2000，得到不等式求解即可．

解答 解：（1）依题意${a_1}={10^3}×\frac{5}{4}-100，{a_2}={a_1}×\frac{5}{4}-100={10^3}×{（{\frac{5}{4}}）^2}-100×（{1+\frac{5}{4}}）$${a_3}={a_2}×\frac{5}{4}-100={10^3}×{（{\frac{5}{4}}）^3}-100×[{1+\frac{5}{4}+{{（{\frac{5}{4}}）}^2}}]$
猜想${a_n}={10^3}×{（{\frac{5}{4}}）^n}-100×[{1+\frac{5}{4}+{{（{\frac{5}{4}}）}^2}+…+{{（{\frac{5}{4}}）}^{n-1}}}]$
=${10^3}×{（{\frac{5}{4}}）^n}-100×\frac{{1-{{（{\frac{5}{4}}）}^n}}}{{1-\frac{5}{4}}}=600×{（{\frac{5}{4}}）^n}+400$
（2）由a_n≥2000，得$600×{（{\frac{5}{4}}）^n}+400≥2000$∴${（{\frac{5}{4}}）^n}≥\frac{8}{3}$
∵$y={（{\frac{5}{4}}）^x}$在（-∞，+∞）上单调递增，估算 ${（{\frac{5}{4}}）^4}＜\frac{8}{3}$，${（{\frac{5}{4}}）^5}＞\frac{8}{3}$∴n≥5
答：要经过5年，该项目的资金超过2千万元．

点评 本题考查数列的应用，数列与函数相结合，考查计算能力．