Question

下列几个命题：
①方程x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；
②函数y=

x2-1

+

1-x2

是偶函数，但不是奇函数；
③函数f（x）的值域是[-2，2]，则函数f（x+1）的值域为[-3，1]；
④一条曲线y=|3-x²|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值不可能是1．
其中正确的有

①④

．

Answer 1

分析：解：对各项依次加以判断：利用一元二次方程根与系数的关系，得到命题①正确；通过化简，得函数y=

x2-1

+

1-x2

=0，定义域为{0}，函数是一个既奇又偶函数，得到②错误；通过函数图象的平移，得到函数f（x+1）的值域与函数f（x）的值域相同，都是[-2，2]，得到③错误；通过分析函数y=|3-x²|的奇偶性，可得曲线y=|3-x²|和直线
y=a（a∈R）的公共点个数是2个、3个或4个，得到④正确．

解答：解：对于①，方程x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，
由一元二次方程根与系数关系，得x₁x₂=a＜0，故①正确；
对于②，函数的定义域为{x|0≤x²≤0}={0}
∴定义域中只有一个元素0，并且f（0）=0，
说明函数是既奇又偶函数，故②错；
对于③，函数f（x+1）的图象可看作是由函数f（x）的图象向左平移一个单位而得，
因此函数f（x+1）的值域与函数f（x）的值域相同，都是[-2，2]，故③错；
对于④，对于曲线y=|3-x²|，设函数F（x）=|3-x²|
因为F（x）满足F（-x）=F（x）成立，所以函数F（x）是偶函数
当x≠0时，若F（x）=a成立，
必有互为相反数的x值（至少两个x）都适合方程，
又∵F（0）=F（±

6

）=3，a=3时，F（x）=a的根除0外还有±

6

，共3个根
∴方程F（x）=a的根的个数是2个或2个以上，不可能是1个，
原命题“曲线y=|3-x²|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值不可能是1．”成立，故④正确．
故答案为：①④

点评：本题通过研究函数的定义域、值域、奇偶性和函数的零点等问题，考查了命题真假的判断与应用，属于中档题．