Question

已知等比数列的公比q＞0，a₁=

1

2

，且a₁是3a₂与2a₃的等差中项．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

21

2

+log2an(n∈N*），记数列{b_n}的前n项和为S_n，当n为何值时，S_n取得最大值？

Answer 1

分析：（1）依题意可求得等比数列{a_n}的公比q，利用其通项公式即可求得a_n；
（2）由（1）知a_n=(

1

2

)n，于是可求得b_n=

21

2

-n，易证数列{b_n}是以

19

2

为首项，-1为公差的等差数列，从而可求其前n项和S_n．

解答：解：（1）∵等比数列{a_n}的公比q＞0，a₁是3a₂与2a₃的等差中项，
∴3a₁q+2a₁q²=2a₁，又a₁=

1

2

，
∴q=

1

2

或q=-2（舍去），
∴a_n=(

1

2

)n；
（2）∵b_n=

21

2

+log₂a_n=

21

2

+log₂(

1

2

)n=

21

2

-n，
∴b_n+1=

21

2

-（n+1），
∴b_n+1-b_n=-1，又b₁=

19

2

，
∴数列{b_n}是以

19

2

为首项，-1为公差的等差数列，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

19

2

n+

n(n-1)

2

×（-1）
=-

1

2

n²+10n．
=-

1

2

（n-10）²+50，
∴当n=10时，S₁₀取得最大值50．

点评：本题考查数列求和，着重考查等比数列与等差数列的通项公式，考查等差数列的公式法求和，属于中档题．