Question

已知S_n是正数数列{a_n}的前n项和，S₁²，S₂²、…、S_n²…，是以3为首项，以1为公差的等差数列；数列{b_n}为无穷等比数列，其前四项之和为120，第二项与第四项之和为90．（1）求a_n、b_n；（2）从数列{

1

bn

}中能否挑出唯一的无穷等比数列，使它的各项和等于

1

S 26

．若能的话，请写出这个数列的第一项和公比？若不能的话，请说明理由．

Answer 1

（1）{S_n²}是以3为首项，以1为公差的等差数列；所以S_n²=3+（n-1）=n+2
因为a_n＞0，所以S_n=

n+2

（n∈N）（2分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

n+2

-

n+1

又a₁=S₁=

3

，所以a_n=

3                    n=1 n+2 - n+1    n＞1

（n∈N） （4分）
设{b_n}的首项为b₁，公比为q，则有

b1q+b1q3=90 b1+b1q2=30

（6分）
所以

b1=3 q=3

，所以b_n=3ⁿ（n∈N）（8分）
（2）

1

bn

=（

1

3

）ⁿ，设可以挑出一个无穷等比数列{c_n}，首项为c₁=（

1

3

）^p，公比为（

1

3

）^k，（p、k∈N），它的各项和等于

1

S 26

=

1

8

，（10分）
则有

( 1 3 )p

1-( 1 3 )k

=

1

8

，所以（

1

3

）^p=

1

8

[1-（

1

3

）^k]，（12分）
当p≥k时3^p-3^p-k=8，即3^p-k（3^k-1）=8，因为p、k∈N，所以只有p-k=0，k=2时，
即p=k=2时，数列{c_n}的各项和为

1

S 26

． （14分）
当p＜k时，3^k-1=8.3^k-p，因为k＞p右边含有3的因数，而左边非3的倍数，不存在p、k∈N，
所以唯一存在等比数列{c_n}，首项为

1

9

，公比为

1

9

，使它的各项和等于

1

S 26

．（16分）