Question

设函数f(x)=cos2ωx+

3

sinωxcosωx+a（其中ω＞0，a∈R）．且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是

π

3

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果f（x）在区间[-

π

3

，

5π

6

]上的最小值为

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）由已知中函数f(x)=cos2ωx+

3

sinωxcosωx+a，利用二倍角公式和辅助角公式，我们易将函数的解析式化简成正弦型函数的形式，再由f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是

π

3

．构造关于ω的方程，解方程即可求出ω的值；
（Ⅱ）根据（I）中结论，我们易分析出f（x）在区间[-

π

3

，

5π

6

]上的单调性，结合f（x）在区间[-

π

3

，

5π

6

]上的最小值为

3

，构造关于a的方程，解方程即可求出a的值．

解答：解：（I）f(x)=cos2ωx+

3

sinωxcosωx+a=

1+cos2ωx

2

+

3 sin2ωx

2

+a
=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

+a------3分　　　
依题意得．2ω•

π

3

+

π

6

=

π

2

2ω•

π

6

+

π

3

=

π

2

?ω=

1

2

-------------------5分　
（II）由（I）知，f(x)=sin(x+

π

3

)+

3

2

+α

π

6

）+

1

2

+a．
又当x∈[-

π

3

，

5π

6

] 时，x+

π

6

∈[-

π

6

，π]-

π

6

　　　　sinx∈[-

1

2

，1]，
从而f（x） 在区间[-

π

3

，

5π

6

] 上的最小值为

3

=-

1

2

+

1

2

+a，故a=

3

点评：本题考查的知识点是正弦型函数的解析式的求法，正弦函数的最值，其中熟练掌握正弦型函数的图象和性质与解析式中各参数的关系是解答本题的关键．