Question

（2011•东城区一模）对于n∈N^*（n≥2），定义一个如下数阵：Ann=

a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann

其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，a_ij=1；当i不能整除j时，a_ij=0．
（Ⅰ）当n=4时，试写出数阵A₄₄；
（Ⅱ）设t(j)=

n

i=1

aij=a1j+a2j+…+anj．若[x]表示不超过x的最大整数，
求证：

n

j=1

t(j)=

n

i=1

[ 

n

i

 ]．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，a_ij=1；当i不能整除j时，a_ij=0可得数阵A₄₄；
（Ⅱ）t（j）是数阵A_nn的第j列的和，则

n

j=1

t(j)是数阵A_nn所有数的和，按行相加，根据数阵A_nn的第i行中有[

n

i

]个1，其余是0，即第i行的和为[

n

i

]，可证得结论．

解答：解：（Ⅰ）依题意可得，A44=

1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1

…（4分）
（Ⅱ）由题意可知，t（j）是数阵A_nn的第j列的和，
因此

n

j=1

t(j)是数阵A_nn所有数的和．
而数阵A_nn所有数的和也可以考虑按行相加．
对任意的1≤i≤n，不超过n的倍数有1i，2i，…，[

n

i

]i．
因此数阵A_nn的第i行中有[

n

i

]个1，其余是0，即第i行的和为[

n

i

]．
所以

n

j=1

t(j)=

n

i=1

[ 

n

i

 ]．…（13分）

点评：本题主要考查了数列的求和，以及新定义，解题的关键是弄清数阵A_nn的第i行中有[

n

i

]个1，其余是0，即第i行的和为[

n

i

]，属于中档题．