Question

如图，钢板材料ABCD的上沿为圆弧AD，其所在圆的圆心为BC的中点O，AB、CD都垂直于BC，且AB=CD=a，BC=b，现如何用这块钢板材料截一块矩形板（其中两个顶点在上，另两个顶点在BC上），使矩形的面积最大？请你设计截取方案，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：作出如图的辅助线，设∠AOB=θ，∠NOB=α，化简矩形EFMN的面积得S=R²sin 2α，由于2θ≤2α＜π，所以分θ≤与θ＞两种情况讨论，分别根据sin2α的最大值得到矩形面积S的最大值，由此即可得到相应的设计方案．
解答：解：如图，设∠AOB=θ，∠NOB=α（），
其中半径AO=R=，且sin θ=，cos θ=．
矩形EFMN的面积是
S=Rsinα（2Rcosα）=R²sin2α（2θ≤2α＜π），
①当θ≤，即2θ≤时，此时2a≤b，S_max=R²=a²+b²，这时α=．
②当θ＞，即2θ＞时，此时2a＞b，S_max=R²sin 2θ=2R²sin θcos θ=2R²••=ab．
因此，设计方案如下：
当2a≤b时，取点N使∠NOB=，再确定点M、E、F，这样矩形EFMN的最大面积为a²+b²；
当2a＞b时，这时矩形ABCD就是所求的面积最大的矩形，最大面积为ab．
点评：本题在圆当中求截取矩形的面积最大值，着重考查了解三角形、三角函数的值域与最值和三角函数的应用等知识，属于中档题．