Question

已知f（x）=x³-2x²+cx+4，g（x）=e^x-e^2-x+f（x），

（1）若f（x）在x=1+处取得极值，试求c的值和f（x）的单调增区间；
（2）如图所示：若函数y=f（x）的图象在[a，b]连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在c∈（a，b）使得f′（c）=，利用这条性质证明：函数y=g（x）图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4。

Answer 1

解：（1）
依题意有
即
∴
令得或
从而f（x）的单调增区间为：及。
（2）





由（2）知，对于函数y=g（x）图象上任意两点A、B，在A、B之间一定存在一点，使得，又，故有，证毕。