精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn,数列数学公式的前n项和为Tn,且数学公式,其中p为常数.
(1)求p的值;
(2)求证:数列{an}为等比数列;
(3)证明:“数列an,2xan+1,2yan+2成等差数列,其中x、y均为整数”的充要条件是“x=1,且y=2”.

(1)解:n=1时,由得p=0或2,
若p=0时,
当n=2时,,解得a2=0或
而an>0,所以p=0不符合题意,故p=2;
(2)证明:当p=2时,①,则②,
②-①并化简得3an+1=4-Sn+1-Sn③,则3an+2=4-Sn+2-Sn+1④,
④-③得(n∈N*),
又因为,所以数列{an}是等比数列,且
(3)证明:充分性:若x=1,y=2,由知an,2xan+1,2yan+2依次为
满足,即an,2xan+1,2yan+2成等差数列;
必要性:假设an,2xan+1,2yan+2成等差数列,其中x、y均为整数,又
所以,化简得2x-2y-2=1
显然x>y-2,设k=x-(y-2),
因为x、y均为整数,所以当k≥2时,2x-2y-2>1或2x-2y-2<1,
故当k=1,且当x=1,且y-2=0时上式成立,即证.
分析:(1)n=1时,由求得p的值,再排除p=0的情形即可得到结论;
(2)当p=2时,,再写一式,两式相减可得3an+1=4-Sn+1-Sn,再写一式,两式相减,可得数列{an}是等比数列;
(3)分充分性与必要性分别证明,必须搞清证明中的条件与结论.
点评:本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识,考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,…),则它的通项公式是an=
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn,数列{an2}的前n项和为Tn,且Tn=
4-(Sn-p)23
,其中p为常数.
(1)求p的值;
(2)求证:数列{an}为等比数列;
(3)证明:“数列an,2xan+1,2yan+2成等差数列,其中x、y均为整数”的充要条件是“x=1,且y=2”.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•绍兴一模)设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)
a
2
n+1
-n
a
2
n
+an+1an=0(n∈N*)

(1)求它的通项公式;
(2)求数列{
an
n+1
}
的前n和Sn

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012年江苏省南通市教研室高考数学全真模拟试卷(一)(解析版) 题型:解答题

设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn,数列的前n项和为Tn,且,其中p为常数.
(1)求p的值;
(2)求证:数列{an}为等比数列;
(3)证明:“数列an,2xan+1,2yan+2成等差数列,其中x、y均为整数”的充要条件是“x=1,且y=2”.

查看答案和解析>>

同步练习册答案