Question

设首项为1的正项数列{a_n}的前n项和为S_n，数列的前n项和为T_n，且，其中p为常数．
（1）求p的值；
（2）求证：数列{a_n}为等比数列；
（3）证明：“数列a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x=1，且y=2”．

Answer 1

（1）解：n=1时，由得p=0或2，
若p=0时，，
当n=2时，，解得a₂=0或，
而a_n＞0，所以p=0不符合题意，故p=2；
（2）证明：当p=2时，①，则②，
②-①并化简得3a_n+1=4-S_n+1-S_n③，则3a_n+2=4-S_n+2-S_n+1④，
④-③得（n∈N^*），
又因为，所以数列{a_n}是等比数列，且；
（3）证明：充分性：若x=1，y=2，由知a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2依次为，，，
满足，即a_n，2^xa_n+₁，2^ya_n+₂成等差数列；
必要性：假设a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差数列，其中x、y均为整数，又，
所以，化简得2^x-2^y-2=1
显然x＞y-2，设k=x-（y-2），
因为x、y均为整数，所以当k≥2时，2^x-2^y-2＞1或2^x-2^y-2＜1，
故当k=1，且当x=1，且y-2=0时上式成立，即证．
分析：（1）n=1时，由求得p的值，再排除p=0的情形即可得到结论；
（2）当p=2时，，再写一式，两式相减可得3a_n+1=4-S_n+1-S_n，再写一式，两式相减，可得数列{a_n}是等比数列；
（3）分充分性与必要性分别证明，必须搞清证明中的条件与结论．
点评：本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识，考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力．