Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c，g（x）=ax+b
（1）令F(x)=

f(x)

g(x)

，当a、b、c满足什么条件时，F（x）为奇函数？
（2）令G（x）=f（x）-g（x），若a＞b＞c，且f（1）=0
（Ⅰ）求证函数G（x）的图象与x轴必有两个交点A、B；
（Ⅱ）求|AB|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用定义可得F（-x）=-F（x），代入整理可求a，b，c 的关系
（2）（I）若a＞b＞c，且f（1）=0，可得a+c+b=0，a＞0＞c，G（x）=f（x）-g（x）=0，判断判别式△=（b-a）²-4ac＞0即可
（II）由设 A（x₁，0），B（x₂，0）根据方程根与系数的关系可得，AB=|x2-x1|=

(x2+x1)2-4x1x2

，结合a+b+c=0，a＞0＞c进行判断．

解答：解：（1）∵F（x）为奇函数，∴F（-x）=-F（x）；
∴

f(-x)

g(-x)

= -

f(x)

g(x)

?

a(-x)2-bx+c

-ax+b

=-

ax2+bx+c

ax+b

整理可得bc=0
bc=0，F（x）为奇函数
（2）（I）∵f（1）=a+c+b=0，a＞b＞c∴a＞0＞c
∵G（x）=f（x）-g（x）=ax²+（b-a）x+c-b
∴△=（b-a）²-4a（c-b）=（a+b）²-4ac＞0
∴G（x）=0有两个根，函数G（x）的图象与x轴必有两个交点A、B
（II）设A（x₁，0）B（x₂，0）
∴|AB|=|x2-x1|  =

(x2+x1)2-4x1x2

=

( a-b a )2-4 c a

=

4+ ( c a ) 2

＞2

点评：本题综合考查了函数的奇偶性，函数与方程 的转化，方程的根与系数的关系，函数的图象与x轴相交的线段的长度的求解，知识比较多，是一道综合性比较好的试题，体现了函数、方程、不等式的相互转化．