Question

关于函数f（x）=sinx+mcosx与g（x）=msinx+cosx给出以下结论：
①函数f（x）与g（x）有相同的值域．
②函数f（x）与g（x）的交点随m的取值的变化而变化．
③函数f（x）的图象经过平移是不可能得到函数g（x） 图象的．
④函数f（x）与g（x）图象关于直线x=

π

4

对称．
⑤存在 k∈z，使得函数f（x）与g（x）的初相和为

π

2

+2kπ（k∈Z）
其中正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：结合三角公式和三角函数的图象进行逐个验证即可．

解答： 解：对于①，当m=0时，
得到f（x）=sinx，g（x）=cosx，
它们的值域相同，
当m≠0时，
函数f（x）=sinx+mcosx
=

1+m2

sin(x+α)，
g（x）=msinx+cosx=

1+m2

sin(x+β)，
显然它们的值域相同，
故①正确，
对于②：函数f（x）与g（x）的交点的横坐标就是方程
sinx+mcosx=msinx+cosx的解，
解次方程，得
tanx=1，
∴x=

π

4

+kπ，k∈Z，
显然，它是一个与m无关的，故②错误；
对于③：结合①知，可以通过平移变换得到；
故③错误；
对于④：g（

π

2

-x）=msin（

π

2

-x）+cos（

π

2

-x）=mcosx+sinx=f（x），
∴g（

π

2

-x）=f（x），
∴函数f（x）与g（x）图象关于直线x=

π

4

对称，
故④正确；
对于⑤：根据tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

m+ 1 m

1-m× 1 m

不成立，得
α+β=

π

2

+kπ，k∈Z，
故⑤正确；
综上，得到正确的命题为：①④⑤．
故答案为：①④⑤．

点评：本题重点考查了三角公式、三角恒等变换公式、诱导公式等知识，属于中档题．